Contenuto

• indicazioni
• Scrivere l'integrale
• Risolvere l'integrale
• Cosa ti serve

L'approccio generale al calcolo quando si determinano i volumi di oggetti con superfici curve si basa sulla teoria principale dell'integrazione. In sostanza, l'oggetto tridimensionale è diviso in fette molto piccole e il volume di ciascuna di queste fette viene avvicinato usando una forma più semplice. Per trovare il volume di un cappuccio sferico, la formulazione più semplice è immaginare una pila di cilindri grandi e corti uno sopra l'altro. Il volume viene calcolato prendendo l'altezza di ciascuno di questi cilindri tendente a zero, generando approssimazioni sempre più precise.

indicazioni

I tetti a volta di molti edifici sono approssimazioni di gusci sferici (Hemera Technologies / AbleStock.com / Getty Images)

Scrivere l'integrale

1. Determina il diametro o il raggio del tuo cappello sferico nella sua parte più ampia.

2. Determina l'altezza del tappo.

3. Sollevare i numeri nei passaggi 1 e 2 e rimuoverli. Dividi questo numero per il doppio del numero trovato nel passaggio 2. Questo ti dà R, il raggio della sfera da cui è stato tagliato il cappuccio.

4. Digitare "V =", seguito dal simbolo di integrazione.

5. Sottrarre il numero trovato nel passaggio 2 di R e scrivere questo valore sulla base del simbolo di integrazione.

6. Scrivi il valore di R nella parte superiore del simbolo di integrazione.

   
   

7. Digitare pi, seguito da parentesi, dopo il simbolo di integrazione.

8. Aumentare il valore di R al quadrato e scriverlo tra parentesi, seguito da un segno meno.

9. Digita "x ^ 2" dopo il simbolo di sottrazione. Dopo le parentesi, completare l'integrale con "dx".

Risolvere l'integrale

1. Moltiplicare il pi tra i valori tra parentesi, ottenendo pi * x ^ 2 sottratto da una costante.

2. Calcola il primo termine dell'integrale moltiplicando la costante per l'altezza del cappuccio sferico (R - a, i due limiti dell'integrale) e spostalo dall'integrale. L'equazione dovrebbe ora avere la forma "V = C (R a) - [integrale definito da a a R] pi * x ^ 2 dx", dove C è il quadrato di R volte pi, e a è R meno un altezza del cappello sferico.

3. Il resto dei risultati integrali in 1/3pi(R3) - 1/3pi(a ^ 3). Quindi, la formula finale per il volume di un cappuccio sferico è V = C (R - a) - 1/3pi(R3) + 1/3pi(a3) con C e descritti nei passaggi 2 e R descritti nel passaggio 3 della sezione precedente.

   
   

4. Sostituendo R meno l'altezza del guscio (h) di a, calcolando i cubi e semplificando i calcoli si otterrà V = 1/3pi(3R-h), la formula algebrica standard per il volume di un cappuccio sferico.

Cosa ti serve

• matita
• carta
• Calcolatrice (opzionale)