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• suggerimenti
• avvertimento

La definizione di epsilon-delta è una dimostrazione che gli studenti apprendono durante il primo anno di lezioni di calcolo. Questa definizione è un modo classico per mostrare che una funzione si avvicina a una soglia specifica in quanto una variabile indipendente si avvicina a un determinato valore. Epsilon e delta sono, rispettivamente, la quarta e quinta lettera dell'alfabeto greco. Queste lettere sono tradizionalmente utilizzate nel processo di calcolo dei confini e sono anche utilizzate nei processi di dimostrazione.

indicazioni

La definizione epsilon-delta viene utilizzata per risolvere le questioni al contorno. (Jupiterimages / Photos.com / Getty Images)

1. Si dovrebbe iniziare lavorando con la definizione del limite formale. Questa definizione afferma che "il limite di f (x) è L, quando x si avvicina a k, se per ogni epsilon maggiore di zero c'è un delta corrispondente, maggiore di zero, tale che, quando il valore la differenza assoluta tra x e k è minore del delta, il valore assoluto della differenza tra f (x) e L sarà minore di epsilon. "Informalmente, questo significa che il limite di f (x) è L, quando x si avvicina a k, se è possibile rendere f (x) il più vicino possibile a L, avvicinandosi da x a k. Per eseguire la dimostrazione epsilon-delta, è necessario dimostrare che è possibile definire delta in termini di epsilon, per una data funzione e perimetro.

   
   

2. Manipola l'istruzione "| f (x) - L | è più piccola di epsilon" finché non ottieni | x - k | meno di un certo valore. Considera questo "qualche valore" come il delta. Ricorda la definizione formale e l'idea centrale, che afferma che è necessario dimostrare che per ogni epsilon c'è un delta, stabilendo tra loro una relazione che rende vera la definizione. Per questo motivo, è necessario definire delta in termini di epsilon.

3. Si noti i seguenti diversi esempi per prendere in considerazione come procede la definizione. Ad esempio, per dimostrare che il limite di 3x-1 è 2, quando x si avvicina a 1, consideriamo k = 1, L = 2 ep (x) = 3x-1. Per essere sicuro che | f (x) - L | è inferiore a epsilon, do | (3x - 1) - 2 | inferiore a epsilon. Ciò significa che | 3x - 3 | è inferiore all' epsilon, quindi 3 | x - 1 | è anche, o || x - 1 | è inferiore a epsilon / 3. Quindi, considerando che delta = epsilon / 3, | f (x) - L | sarà inferiore a epsilon quando | x - k | è inferiore al delta.

   
   

suggerimenti

• La parte centrale della dimostrazione è di trasformare f (x) - L in x - k. Se tenga presente questo obiettivo, il resto della dimostrazione avverrà perfettamente.

avvertimento

• In alcune situazioni, il limite di una funzione può indicare che f (x) tende all'infinito ogni volta che x tende all'infinito. La definizione di epsilon-delta non funziona in questi casi; in queste situazioni, una dimostrazione simile può essere fatta scegliendo due numeri grandi, M e N, e mostrando che f (x) può superare M facendo sì che x superi N, e M possa essere grande quanto desiderato.